$\int \left(x\right)$ একটি ফাংশন, যখন $\int : \mathrm{ℝ} \to \mathrm{ℝ} ,$ তাহলে $\int \left(x\right)=\frac{x^2-16}{x-4}$ এর ডোমেইন এবং রেঞ্জ কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\( f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} \)

ডোমেইন (Domain) নির্ণয়:

একটি ভগ্নাংশ ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয়ের জন্য, এর হর (denominator) শূন্য হতে পারবে না। যে সকল x এর মানের জন্য হর শূন্য হয়, সে সকল মান ডোমেইন থেকে বাদ দিতে হবে।

এখানে, হর হলো \( (x - 4) \)।

অতএব, হর শূন্য হতে পারবে না: \( x - 4 \neq 0 \)

\( \implies x \neq 4 \)

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেইন হলো সকল বাস্তব সংখ্যা ৪ বাদে।

ডোমেইন, \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\} \)

রেঞ্জ (Range) নির্ণয়:

প্রদত্ত ফাংশনটিকে প্রথমে সরল করা যাক:

\( f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} \)

আমরা জানি, \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) সূত্র ব্যবহার করে, লবকে \( x^2 - 4^2 \) হিসাবে লেখা যায়।

\( f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} \)

যেহেতু আমরা ডোমেইন থেকে জেনেছি যে \( x \neq 4 \), অর্থাৎ \( (x - 4) \neq 0 \), তাই আমরা লব ও হর থেকে \( (x - 4) \) পদটি বাদ দিতে পারি।

\( f(x) = x + 4 \), যখন \( x \neq 4 \)

এখন, যদি \( x = 4 \) হতো (যদিও এটি ডোমেইনের অংশ নয়), তাহলে \( f(x) \) এর মান হতো \( 4 + 4 = 8 \)।

কিন্তু যেহেতু \( x = 4 \) বিন্দুতে মূল ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত, তাই \( f(x) \) এর মান কখনও ৮ হবে না। এই ফাংশনের লেখচিত্রে \((4, 8)\) বিন্দুতে একটি 'ফাঁকা' বা 'ছিদ্র' (hole) থাকবে।

সুতরাং, ফাংশনটির রেঞ্জ হলো সকল বাস্তব সংখ্যা ৮ বাদে।

রেঞ্জ, \( R_f = \mathbb{R} \setminus \{8\} \)

অতএব, ফাংশনটির ডোমেইন হলো \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \) এবং রেঞ্জ হলো \( \mathbb{R} \setminus \{8\} \)।